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906 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

Debido a que una descripción completa va más allá del alcance de este libro, el
presente capítulo ofrece sólo una introducción general al método del elemento finito.
Nuestro objetivo principal es familiarizar al lector con esta técnica y darle a conocer
sus capacidades. Por lo tanto, la siguiente sección ofrece una visión general de los pasos
para la solución de un problema, usando el elemento finito. Después se analizará un
ejemplo sencillo: una barra calentada unidimensional en estado estacionario. Aunque
este ejemplo no usa EDP, nos permite desarrollar y demostrar los principales aspectos
de la técnicas del elemento finito, evitando llegar a factores complicados. Después
podemos analizar algunos problemas con el empleo del método del elemento finito para
resolver EDP.

31.1 EL ENFOQUE GENERAL

Aunque las particularidades varían, la implementación del método del elemento finito
usualmente sigue un procedimiento estándar paso a paso. A continuación se presenta un
panorama general de cada uno de estos pasos. La aplicación de tales pasos a problemas
de ingeniería se desarrollará en las siguientes secciones.

31.1.1 Discretización

Este paso consiste en dividir el dominio de la solución en elementos finitos. En la figu-
ra 31.2 se muestran ejemplos de los elementos empleados en una, dos y tres dimensiones.
Los puntos de intersección de las líneas que forman los lados de los elementos se cono-
cen como nodos, y los mismos lados se denominan líneas o planos nodales.

31.1.2 Ecuaciones de los elementos

El siguiente paso consiste en desarrollar ecuaciones para aproximar la solución de cada
elemento y consta de dos pasos. Primero, se debe elegir una función apropiada con co-
eficientes desconocidos que aproximará la solución. Segundo, se evalúan los coeficien-
tes de modo que la función aproxime la solución de manera óptima.
Elección de las funciones de aproximación. Debido a que son fáciles de manipular
matemáticamente, a menudo se utilizan polinomios para este propósito. En el caso uni-
dimensional, la alternativa más sencilla es un polinomio de primer grado o línea recta.
u(x) = a + a x (31.1)
0 1
donde u(x) = la variable dependiente, a y a = constantes y x = la variable independien-
0 1
te. Esta función debe pasar a través de los valores de u(x) en los puntos extremos del
elemento en x y x . Por lo tanto,
1 2
u = a + a x
1 0 1 1
u = a + a x
2 0 1 2
donde u = u(x ) y u = u(x ). De estas ecuaciones, usando la regla de Cramer, se obtiene
1 1 2 2
ux − u x u − u
a = 12 21 a = 2 1
x −
1
0
2
2 x 1 x − x 1
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