Page 1039 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在原来的例题中, 我们已知当 n ≥ 1, sin(1/n) 非负, 这就可以去掉绝

对值号. 我们同样知道, 上式右侧级数发散, 所以原级数不是绝对收敛

的. 另一方面, 该级数的各项显然交错, 且当 n → ∞ 时通项趋于 0, 因

为 sin(1/n) 是这样的. 现在考虑 |a |, 其实就是 sin(1/n). 它关于 n 递
n

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减吗？对 sin(1/x) 关于 x 求导, 可得 - cos(1/x)/x , 当 x ≥ 1 时它为

负. 或者可以说, 1/n 关于 n 递减, 且在 0 附近 sin x 关于 x 递增, 所

以 sin(1/n) 关于 n 递减. 不管用哪种方法, 我们已经证得了三个性质,

故由交错级数判别法可知级数收敛. 由于该级数不绝对收敛, 所以它条

件收敛.

最后一个例题. 考虑级数

该级数显然交错, 但第 n 项的极限是多少？若期望该级数收敛, 我们需

要极限值为 0. 这里似乎有点问题, 根据 22.1.2 节末方框中的极限, 将

k 用 1 代换, 我们有

所以这个数列的交错形式在数 e 和 -e 之间振荡. 这意味着