Page 1043 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

24.1.1 重访线性化

我们说, 有些光滑函数 f 可以被求任意阶导而不会出现任何问题. 这里

有个 13.2 节问过的问题：在点 (a, f (a)) 附近, 与曲线 y = f (x) 最

近似的直线方程是什么？答案是所求直线为曲线上点 (a, f (a)) 处的切

线, 它的方程为

这就是 f 在 x = a 的线性化. 右边是次数为 1 的多项式. 图 24-1 给出

了曲线 y = f (x) 在 x = a 的切线, 看起来不像是整个曲线的近似.

图 24-1

不过, 它确实为曲线在 (a, f (a)) 附近的近似. 事实上, 我们把 (a, f

(a)) 附近放大, 如图 24-2 所示. 可以看到, 切线与曲线 y = f (x) 并没

有很大的差别. 图像放得越大, 它们的差别就越小.