Page 1042 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

24.1 近似值和泰勒多项式

这里有个不错的结果：对任意实数 x, 我们有

另外, x 越趋近于 0, 近似程度就越好.

现在我们来讨论这个结果. x = 0 时, 两边其实都等于 1, 所以这个近似

值很理想! 那 x 不为 0 时呢？我们试一下 x = -1/10, 由上述等式可得

化简可得

根据计算器所得结果, e -1/10 等于 0.904 837 418 0(精确到 10 位小

数), 而 5429/6000 等于 0.904 833 333 3(也精确到 10 位小数).

这些数很接近. 事实上, 它们的差仅为 0.000 004 084 7.

2
3
那到底我是怎么想出多项式 1 + x + x /2 + x /6 的呢？很显然, 它
x
x
不只是一个旧多项式, 特别的是它与 e 有关系. 与其只关注 e , 倒不
如考虑其他更一般的函数. 同样, 该多项式的次数 3 也没有什么特别的,

我们可用任何次数. 我们就从次数 1 开始吧, 看看会发生什么.