Page 1046 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(4) 另一方面, 由于 f'' (a) 为常数, 所以对所有 x 有 . 对所有

更高阶导数均有相同结论. (毕竟, P 是二次的, 任何二次函数的三阶或
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更高阶导数必处处为 0!)

所以 P 与 f 在 x = a 有相同的零阶导、一阶导和二阶导, 但 P 的三
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阶或更高阶导恒为 0. 可以说, P 提取了 f 在 x = a 处二阶导及以下
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的所有信息.

另一个关于 P 的好结论是：若忽视 P (x) 方程右边的最后一项, 就得
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到 f (a)+ f'(a)(x - a). 这恰恰是上一节的线性化, 所以可以认为最后的

项 为所谓的二阶修正项. 这意味着我们应该能够找到比切

线更好的近似. 二阶修正项有助于更接近于曲线, 至少当 x 在 a 附近时

是这样的. (当 f'' (a) = 0 时是例外, 在这种情况下 P 仅为线性化, 并
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不能使近似更好.)

24.1.3 高阶近似

我们继续相同形式的讨论, 只不过这里用任意次 N 代替 1 或 2. 问题：

对 a 附近的 x, 哪个次数为 N 或更低的多项式最近似于 f (x)？答案由

下面的定理给出.