Page 1045 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 24-3

事实上, 在 x 接近于 a 时 (即, 曲线上点 (a, f (a)) 附近), 最近似于曲

线 y = f (x) 的二次曲线方程为

2
它其实是一个关于 x 的二次函数, 因为若展开 (x - a) , 则 x 的最高次

2
项为 x . 这里仍保留了相同的形式, 并称之为 “关于 (x - a) 的二次函

数”. 我们称该二次函数为 P , 即
2

现在, 我们搜集一些关于 P 的好结论.
2

(1) 将 x = a 代入方程 P (x), 可以很容易地得到 P (a) = f (a). 所以
2
2
当 x = a 时, P 与 f 的值相等. 事实上, 因为函数的零阶导为该函数本
2

身, 所以当 x = a 时, P 与 f 的零阶导相等.
2

(2) 对 P 求导可得 . 同样, 若代入 x = a, 可
2

知 . 当 x = a 时, 一阶导 与 f' 也相等.

(3) 再求一次导可得 . 当 x = a, 有 . 所以当

x = a, 二阶导数值也相等.