Page 1048 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

即当 x = a 时, P 的所有 N 阶导及以下的导数值都与 f 对应值相等,
N

但是 P 的所有更高阶导数必须处处为 0. 函数 P 提取了 f 在 x = a
N
N
处直到 N 阶导数的所有信息.

当然, 当 N = 1 时, 我们得到 P (x) = f (a) + f'(a)(x - a), 为 f 在 x
1

= a 处的线性化. 当 N = 2 时, 我们就得到上一节的公式 P (x). 下面
2

x
看一下该方法对 a = 0 的 f (x) = e 的应用. 由上面的公式, 令 N =

3 且 a = 0, 我们有

x
x
幸运的是, e 关于 x 的所有导数均为 e , 所以可知 f (0), f'(0), f'' (0)
0
和 f (3)(0) 都是 e , 等于 1. 由于 2! = 2, 3! = 6, 因而上述公式变为

这恰恰是 24.1 节开头提到的三次多项式! 在所有的次数为 3 或更低次

x
的多项式中, 这个多项式是与 x 在 0 附近的 e 最近似的. 为什么是 0

呢？ 因为那是我们所选择的 a 值. 若选择不同的 a 值, 我们将得到 x

3
x
在 a 附近对 e 有很好近似的另一个不同的多项式. 去掉三次项 x /6
2
2
后可以看到, P (x) = 1 + x + x /2, 然后再去掉二次项 x /2, 得到线
2
性化 P (x) = 1 + x. 从另一个角度来看, P (x) 通过加上二阶修正项
2
1