Page 1191 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

iπ
极坐标 (1, π), 所以 -1+0i = 1e . 也就是说, -1 的极坐标形式是
iπ
e . 类似地, 笛卡儿坐标点 (0, 1) 可以写成极坐标 (1, π/2), 所以 0

+ 1i = 1e iπ/2 , 或 i = e iπ/2 . 这个式子看起来有点奇怪, 但确实是正确

的：左边是笛卡儿形式, 而右边是极坐标形式. 相同的还有 -i =

e i(3π/2) . (知道为什么吗？)

在 27.2.1 节, 我们看到有无穷多种方式来表示一个给定的极坐标点.

当我们讨论复数时与之一致, 这里令 r 非负. 同样地, 如果已经求出给

定点的极坐标 (r, θ), 则可以将 2π 的任意整数倍加到 θ 上, 结果不变.

例如, 点 (0, -1) 有极坐标 (1, 3π/2), 或者减去 2π 得到该点的另一个

iθ
极坐标 (1, -π/2). 对于复数, 这意味着 e i(3π/2) = e -iπ/2 . 所以 e 关于

θ 是周期的, 且周期为 2π. 这个结果很重要, 稍后将用到.

iπ
前面讨论了 e = -1, 我们仔细想想, 也许你会觉得, 这真是太令人惊
叹了. 在你的数学学习中, 有多少个基本新数呢？引入 -1 打开了通往

负数的大门. 数字 π 来自圆的几何. 等字 e 是自然对数的底, 在微积分

学习中很重要. 数字 i 指引我们通往复数的路并得以求解二次 (和更高

次多项式) 方程. 如果你问我, 我会说它们结合成这样简单的公式真是

很不寻常. 好了, 哲学闲谈就到此, 我们来看一些复数的极坐标形式与

笛卡儿形式相互转换的例子.

笛卡儿形式和极坐标形式互换