Page 1189 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在前一章我们看到, 可将平面中的点用极坐标代替. (如果很久没看了,

现在应该复习 27.2.1 节.) 那么如果你有复平面内极坐标为 (r, θ) 的

点, 该点所表示的复数是什么呢？ 我们可用 x = r cos(θ) 和 y = r

sin(θ) 来转化到笛卡儿坐标. 所以极坐标 (r, θ) 表示复数 z = x + iy

= r cos(θ) + ir sin(θ). 特别的, 若 r = 1, 则 z 就是 cos(θ) + i

sin(θ).

欧拉给出了一个奇异且独特的等式, 它很重要：

2
iθ
对所有实数 θ 都成立. 意思是, 按前一节定义复数 e , 当在复平面
iθ
上画该点时有极坐标 (1, θ). 所以 e 在单位圆上且有从 x 轴正方向

iθ
开始的角 θ. 图 28-2 给出了不同 θ 值对应的 e .

2 该等式证明见本章末.