Page 1192 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

将极坐标形式的复数转换成笛卡儿形式, 可以直接应用欧拉恒等

iθ
式, 即 e = cos(θ)+i sin(θ). 例如, 2e i(5π/6) 的笛卡儿形式是什么？

根据欧拉恒等式, 为 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)). 明白为什么要知道

三角函数形式吗？希望你能算出 和 sin(5π/6) = 1/2, 所以

另一方面, 如 27.2.1 节所述, 由笛卡儿形式转换到极坐标形式要稍难

一些. 在那节,

和 ,

其中舍去了可能的解 , 因为我们需要复数的 r ≥ 0.

顺便说一下, 我们定义 z 的模为 , 所以 r 等于 |z|. 因此

模 |z| 是从原点到点 z 的距离 (在复平面中). 角 θ 被称为 z 的辐角,

3
写为 arg(z). (通常要求 0 ≤ arg(z) < 2π 以避免产生歧义. )

3 这个条件也经常被写为 -π < arg(z) ≤ π.

将 z 由笛卡儿坐标转换为极坐标, 只需用上面的公式求出 z 的模和辐

角. (其实, 有时 z 的极坐标形式也被称为模 - 辐角式.) 例如, 如何将 z

= 1 - i 转换成极坐标形式？将 z 写作 1 + (-1)i, 则需令上面公式中

iθ
的 x = 1, y = -1. 事实上, 若 z = r e , 则