Page 1186 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

注意, 我们已将 化简为 . 如果是系数为复数的二次方

程呢？二次方程公式仍可用, 但可能要求复数的平方根, 而不只是刚刚

做的只是求负数的平方根. 我们将在 28.4.1 节看到这样的例子.

复指数函数

我们已经讨论了如何加、乘复数. 那么, 如何指数化它们呢？我们来看

z
如何使形如 e 的数有意义, 其中 z 是复数. 从 24.2.3 节知

对所有实数 x 都成立. 如果我们将右边的 x 换成 z(其中 z 为复数) 会

发生什么？ 我们将得到一个项为复数的级数. 不管相信与否, 你仍可

用比式判别法证明该级数收敛, 无论 z 是什么样的复数. (我们只证明

了实数级数的比式判别法, 但你一旦定义了复数序列的收敛, 该证明仍

成立.) 受所有这些启发, 我们对任意复数 z, 通过等式

z
x
定义 e . 该等式当 z 为实数时当然成立, 因为 e 满足上面等式. 另一
z
方面, 如果新对象 e 能满足我们对指数的所有预期就好了. 其实, 关

w
z
键是满足指数法则 e e = e z+w . 一旦我们知道了这个, 其他所有的
指数法则马上也能多少得到满足.