Page 1198 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在要回到笛卡儿形式. 在转换之前, 我们来看 e i(693π/4) . 这个分数

iθ
693π/4 有点讨厌. 要知道 e 以关于 θ 的 2π 为周期, 所以把分数

693π/4 的所有 2π 倍数去掉而不影响结果, 故有 , 小于

这个数的最大偶数为 172, 且这两个数之差为 . 所以

我们可将 693π/4 看作 172π + 5π/4. 因为 172π 是 2π 的整数倍

(这就是我们想要偶数的原因, 172 就是这种情况), 所以 e i(693π/4) =

e i(5π/4) . 这样就好多了, 现在可将整个式子写成笛卡儿形式：

其实, 这个式子还可以进一步将 简写为 2 -1/2 , 最终的结果

49
为 -2 (1 + i). 作为练习, 你可以对另一种极坐标形式

, 验证有相同的结果.

总之, 若取复数的高次幂, 首先将它转化为极坐标形式, 然后取幂.

求小于 θ 的 π 的最大偶数倍, 然后从 θ 中减去这个偶数倍, 且用所得

新数来代换 θ. 最后, 换回笛卡儿形式.

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