Page 1223 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

28.7 欧拉恒等式和幂级数

在这章最后, 我们来看看用幂级数证明欧拉恒等式

z
根据 28.1.1 节对 e 的定义, 将 z 替换为 iθ, 可以得到

由于 i 的幂在值 1, i, -1, -i 间持续循环, 因而可推导出上述级数的偶

次幂都有实系数, 而奇次幂都有虚系数. 另外, 隔项偶次幂项为负, 其

iθ
余为正; 奇次幂项同理. 所以 e 的实部为

虚部为

(回顾一下这些麦克劳林级数, 参见 26.2 节.) 由最后的等式, 可推出

iθ
e = cos(θ) + i sin(θ).