Page 1226 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

29.1 旋转体的体积

我们从求旋转体体积开始. 平面上有某个区域, 也有某个轴, 立体由该

区域关于轴旋转得到. 为便于研究, 我们假设这些轴总是平行于 x 轴或

y 轴. (也可能有斜轴, 不过这会很麻烦, 除非用线性代数里的方法. )

在我们带上 3D 眼镜之前, 先来回顾一下定积分的原理. 我们在第 16

章讲过该原理, 这里快速回顾一下其主要思想. 我们先看求曲线

下方、x 轴上方的区域面积. 它看起来像什么？如果我们将方程平方并

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重整将得到 (x - 3) + y = 1, 它的图像是以 (3, 0) 为圆心、1 为半
径的圆, 所以这个函数是圆的上半部分, 如图 29-1 所示.

图 29-1

根据定积分的定义, 我们知道阴影区域的面积 (平方单位) 是