Page 1228 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 29-3

这个矩形小条的底宽 dx 个单位, 高 y 个单位, 它的面积是 y dx 平方

单位. 现在我们要做的就是将所有小条的面积加起来, 同时令最大的底

宽趋于 0. 积分符号的优势在于, 你只需将积分号写在小条面积的前面,

并给出正确的界. 在我们的例子中, x 在区间 [2, 4] 内, 一个小条的面

积是 y dx 平方单位, 所以所有小条的面积 —— 在小条最大的底宽趋

于 0 时 —— 是 平方单位.

所以, 其模式是这样的：我们在 x 轴上的点 x 处取宽 dx 个单位、高 y

个单位的小条, 算出它的面积, 然后将积分号放在前面来得到要求的整

个面积. 这种方法不仅适用于求面积, 也可用于求体积. 特别地, 让我们

来看看它怎么通过两种不同的方法 —— 圆盘法和壳法, 求解旋转体的

体积.

29.1.1 圆盘法

假设我们绕 x 轴旋转上节中的半圆, 这将会得到一个球. (能明白为什

么吗？) 我们来尝试求体积. 我们从图 29-3 的小条开始, 然后这个小条