Page 1248 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 29-19

如图所示的小条宽为 dx, 但高不是 y, 而是 y - h. 在图中, h 显示为正

数, 所以显然 y - h 小于 y —— 事实上也是如此. 若碰巧 h 为负, 则小

条的高大于 y —— 显然这时 y - h 大于 y, 因为 h 为负! 不考虑 h 的

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符号, 我们看到小条的高为 y - h, 所以相应的圆盘体积是 π(y - h) dx,

整个旋转体的体积是 .

事实上, 这个公式与正规圆盘法的唯一区别是: y 被 (y - h) 代换了. 如

1.3 节所述, 这个变化转换了标准图像, 使得区域位在 x 轴上方 h 单位

的地方 (若 h 为负则在 x 轴下方). 该变化的唯一问题是, 直线 y = h

可能会在曲线上方, 图 29-20 所示. 在这种情况下, 小条的高度是 h -

y, 而不是 y - h. 这对圆盘法没有实质影响, 因为是取高的平方, 但对此

加以小心总是好的. 壳法则另当别论了.