Page 1243 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

你可以计算结果, 并验证答案为 1024π/63 立方单位.

若是此区域关于 y 轴旋转呢？我们刚刚求得了两曲线间的面积, 但并没

有特意倾向某个轴或其他轴, 所以应该能够用圆盘法或壳法来求解. 我

们分别用两种方法来实现. 首先用圆盘法. 假设我们将该区域切割成短

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边平行于 y 轴的小条, 如图 29-16 所示. 所求的体积是 y = x 和 y =

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2x 旋转体体积之差. 在这两个体积中, 第一个大于第二个, 因为 x 在
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2x 的右边, 所以我们令 x = y 1/4 , x = (y/2) 1/3 . 运用圆盘法, 将 x
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和 y 互换 (如变式 1), 并在 y = 0 和 y = 16 间积分 (不是从 0 到 2),

可知所求体积为