Page 1316 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

30.5 微分方程建模

现实世界的很多量都可以用微分方程模拟 (即理论近似). 例如热流、

波高、通货膨胀、电路的电流以及种群增长, 这些还只是一小部分. 下

面是一个现实情形中涉及种群增长的简单例子.

某细菌培养以这样的方式呈指数增长： 它每小时的瞬时增长率

等于培养皿中细菌数量的两倍. 假设某抗生素以每小时 8 盎司的恒定

速率连续注入培养皿. 每盎司抗生素每小时杀死 25 000 细菌. 为保证

培养皿细菌数量不为 0, 其初始数量至少需为多少？

这里的问题是：随着细菌的繁殖, 细菌的数量在不断增长; 但随着抗生

素不断注入培养皿, 抗生素的量也在增长. 哪个会赢, 细菌还是抗生

素？要解决这个问题, 我们需写出一个模拟该情形的微分方程. 事实

上, 我们需要将文字问题转换成一个微分方程. 若没有抗生素, 则有标

准种群增长微分方程为 (k = 2)

其中 P 是在 t 小时时的种群数量. (我们在 9.6.1 节讨论过这类问题. )

现在我们需要把抗生素考虑进来, 修改方程. 在 t 小时, 我们知道有 8t

盎司的抗生素, 所以细菌死亡率为 8t × 25 000 = 200 000t. 因此

正确的微分方程是