Page 1314 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们来看最后一个 IVP 例子. 假设

2
齐次方程是 y'' + 6y' + 13y = 0, 特征二次方程为 t + 6t + 13 =

0. 运用二次公式, 后面方程的解为 .

这意味着 . 现在来看特解：由于原方程

3
2
的右边 (含 x 部分) 是三次的, 所以应写为 y = ax + bx + cx +
P
d. 现在需要将 y 带入微分方程来求出从 a 到 d 的所有常数. 注意
P

和 . 代入, 可得

3
2
令 x 、x 、x 和 1 的系数相等 (如我们在部分分式中所做一
样), 分别可得 13a = 26, 18a + 13b = -3, 6a + 12b + 13c =

-24, 2b + 6c + 13d = 0. 我把解这些方程的任务留给你完成, 可知

3
2
a = 2, b = -3, c = 0, d = 6/13. 故 y = 2x - 3x + 6/13, 因此
P

对某些常数 A 和 B 成立. 为了求这些常数, 要使用初始条件. 由于

y(0) = 1, 我们知道当 x = 0 时 y = 1, 代入得到

所以 A = 7/13. 同时, 对 y 的表达式求导得