Page 1311 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

的最后一行所示, 我们需要引入 x 的幂来使该解起有效. 因此, 我们将

采用 y = Cx_e 2_x . 现在来看会发生什么. 首先注意
P

且 , 故将其代入前面的微分方程

时, 可得

2x
关于 x_e 2_x 的项完全消掉了, 留下 C_e 2_x = 7e . 因此 C = 7, 这

_x
意味着 y = 7x_e 2_x . 最后, 全解为 y = y + y = A_e + B_e 2_x
P
H
P
+ 7x_e 2_x .

看另一个例子. 要想解

需比原来做更进一步的计算. 齐次方程 y'' + 6y' + 9y = 0 有特

2
2
征二次式 t + 6t + 9 = (t + 3) , 因此齐次解为 y = A_e -3_x +
H
Bx_e -3_x . 由于微分方程的右边是 e -3x , 因而我们取 y = C_e -3_x . 这
P

个解无效, 因为它包含在 y 中 (当 A = C 且 B = 0 时). 甚至 y =
H
P
Cx_e -3_x 也无效, 因为它也包含在 y 中 (当 A = 0 且 B = C 时). 因
H

2
2 -3x
此我们需要进一步乘以 x 并令 y = Cx e . 现在可求两次导得
P
和 . (对其验

证!) 将这些量代入原方程并验证化简后为 2C_e -3e = e -3_x 的任务留