Page 1327 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

的距离. 因此, 你的区间是由所有距离 L 小于 ε 的点组成的. 正如你猜

测的, 能够将 |y - L| < ε 这样的不等式与其等价形式 L - ε < y < L +

ε 相互转换, 对于你来说是极其有帮助的.

现在轮到我移动了. 我需要保证该函数落在你的区间里. 这意味着, 在

我舍弃大部分定义域之后, 所有保留下来的 f (x) 的值都必须距离 L 小

于 ε. 因此, 在我移动之后, 你将得出结论

|f (x) - L| < ε (x 充分接近于 a 且 x ≠ a).

为了让我的移动更精确, 除了那个以 a 为中心的区间, 剩下的一切我都

要舍弃. 我的区间看起来像是对某个其他数 δ 成立的 (a - δ, a + δ) ,

因此, 我也可以把它看作是使得 |x - a| < δ 成立的 x 的集合. 事实上,

由于我不想让 x 等于 a, 所以可以写成 0 < |x - a| < δ.

总的来说, 你的移动是由选取 ε > 0 构成的.(它最好是正的, 否则根本

不存在移动区间!) 而我的移动是选取一个数 δ > 0, 使得

这意味着只要 x 距离 a(x ≠ a) 不超过 δ, f (x) 的值距离 L 就不会超

过 ε. 这就确定了基本思想：当 x 接近 a 时, f (x) 接近 L. 现在, 剩下

的就是允许你来选择 ε, 你想要多小就多小, 而我仍然需要相应地选取

δ. 以下就是我们要找的正式定义：