Page 1328 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

重要的是, 在你移动之后我才能开始移动! δ 的选取依赖于 ε 的选取.

通常我不能选择一个普遍的 δ 来保证对每一个 ε > 0 结论都成立. 我

必然受限于你的选择.

A.1.3 应用定义的例子

作为一个简单的例子 (不使用连续性), 我们来证明

2
我们很容易写出 3 = 9 并宣布大功告成, 但这行不通, 因为极限只依

赖于当 x 接近而不是等于 3 时的行为. 因此, 我们必须玩一下那个小游

戏. 你选择 ε > 0, 这就产生了一扇约束我的小窗 (9 - ε, 9 + ε). 现在,

我开始选取 δ. 假设 ε 是 8 (从上下文来看它过大了), 那么你的小窗是

(1, 17). 现在, 通过选择 δ = 1, 我可以轻易地留在那里, 此时我的小

窗是 (2, 4). (请记住, 我的小窗中心位于 3, 而你的小窗中心位于 9)

事实上, 如果你对介于 2 和 4 之间的任意数取平方, 就会得到一个介于

4 和 16 之间的数, 因此我的移动不成问题. 如果 ε 比 8 还大, 这会加

宽你的区间, 若我坚持 δ = 1, 那我的移动不成问题.