Page 1331 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

A.2 由原极限产生新极限

2
前面的例子令人十分烦恼. 仅仅是想证明当 x → 3 时 x → 9, 我们就

必须做大量的工作. 幸运的是, 事实表明, 一旦你知道一些极限, 就可

以将它们放在一起讨论并得到一大堆新的极限. 例如, 你可以在合理的

范围内对极限做加法、减法、乘法及除法, 也可以使用三明治定理. 下

面就让我们来看看为什么这些都是成立的.

A.2.1 极限的和与差及证明

假设我们有两个函数 f 和 g, 并且知道, 当 x → a 时 f (x) → L 和 g

(x) → M . 那么, 当 x → a 时, f (x) + g (x) 会怎样呢？直观上, 它应

该是趋于 L + M 的. 让我们用定义来证明它. 我们知道

和 .

这意味着, 如果你选取 ε > 0, 我可以将 x 限制为充分接近 a 来保证

|f (x) - L| < ε. 如果 x 充分地接近 a, 我也可以保证 |g (x) - M| < ε.

对于 f 和 g 来说, 我需要的接近程度或许是不同的, 但这没有问题

—— 我可以做到充分接近, 以便两个不等式都成立.

如果 f (x) + g (x) 接近 L + M , 则这两个量之间的差异应该很小. 因

此我们需要查看量 |(f (x) + g (x)) - (L + M )|. 我们将它写为 |(f (x)