Page 1330 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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再次使用 (x - 3) (x + 3) = x - 9, 我们在方程两边加上 9, 得到

这样就有了容忍下限! 我们已经证明了, 如果 x 位于区间 (3 - ε/8, 3 +

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ε/8) 内, 那么 x 就在区间 (9 - 5ε/8, 9 + 7ε/8) 内. 由于 5/8 和 7/8
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都小于 1, 所以我们可以确信 x 位于区间 (9 - ε, 9 + ε) 内; 毕竟, 这

个区间包含前面那个.

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综合起来, 我们设 f (x) = x , 且要证明

你选择 ε, 而我就相应地选取 δ = ε/8, 除非你的 ε 比 8 大, 若如此, 我

就选取 δ = 1. 我们已经证明了, 在这两种情况下, 如果 x 位于区间 (3

- δ, 3 + δ) 内, 那么 f (x) 就在区间 (9 - ε, 9 + ε) 内. 换句话说, 只要

|x - 3| < δ, 那么 |f (x) - 9| < ε. 如果指明 0 < |x - 3| < δ, 那么 |f

(x) - 9| < ε 的话, 我们也可以把 x = 3 排除在外. 这正是我们想要的

—— 证明了上述等式. 信不信由你, 如果想要利用定义来证明以上极限

成立, 那么必须做大量的工作!

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