Page 1329 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在, 如果你选择的容忍度 ε 小于 8, 我就必须改变策略. 在这种情况

下, 我的选择将是 δ = ε/8. 即, 不管你如何选择, 我的小窗都将是你的

小窗的 1/8. 要想知道这是怎么回事, 就得聪明点. 基本上, 我们必须选

取在我区间内的任意一个数, 再平方, 并证明它位于你的区间内. 我的

区间是 (3 - ε/8, 3 + ε/8), 而你的区间是 (9 - ε, 9 + ε).

让我们在我的区间中选取 x. 它能有多大呢？它必须小于 3+ε/8. 即 x

< 3+ε/8, 也可以将它写为 x - 3 < ε/8. 顺便说的是, 由于你的 ε 小于

8, 故我的 x 小于 4. 因此, 使用这两个不等式 x - 3 < ε/8 及 x < 4,

我们得到

2
由于 (x - 3) (x + 3) 正好是 x - 9, 所以我们可以在方程两边加上 9,

得到

2
故容忍上限 (两条线中上边的一条) 没有问题. 我们需要 x < 9 + ε,

刚刚证明过了. 那么容忍下限如何呢？那好, 已知 x 位于我的区间 (3 -

ε/8, 3 + ε/8) 中, 那么它能有多小呢？它必然大于 3 - ε/8, 因此我们

有 x > 3 - ε/8; 这意味着, x - 3 > -ε/8. 因为你的 ε 小于 8, 也有 x -

3 > -8/8 = -1, 这就是说 x > 2. 现在应用不等式 x - 3 > -ε/8 和 x

> 2, 我们得到