Page 1332 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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- L) - (g (x) - M)|. 然后, 我们使用所谓的三角不等式 (就是说 对于

任意的数 a 和 b, 有 |a + b| - |a|+|b|) 得到

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既然我们在证明各种命题, 那不妨也证明一下三角不等式. 首先我们要注意到, 对任意数 x
都有 x ≤ |x|. 实际上, 若 x 为正数或等于 0, 则 x = |x|; 若 x 为负数, 则由 |x| 为正数可得

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x < |x|. 现在用 ab 替换 x 就得到 ab ≤ |ab| = |a|·|b|. 两边先同时乘以 2 再加上 a +
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b 可得 a + b + 2ab ≤ a + b + 2|a|·|b|. 左边就是 (a + b) . 因为对任意的 x 都
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有 x = |x| , 所以左边可写作 |a + b| . 同样地, 右边可写作 |a| + |b| + 2|a|·|b|,
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或 (|a| + |b|) . 于是就有不等式 |a + b| ≤ (|a| + |b|) . 现在我们两边同时开方, 因为
|a + b| 和 |a| + |b| 都非负, 于是就得到了三角不等式.

这里假设 x 充分地接近 a. 这已经够好了, 不过你想要的容忍限度是

ε, 而不是 2ε! 因此, 我必须再次移动 (对不起了); 这一次, 我要将小窗

变窄, 以便 |f (x) - L| 和 |g (x) - M| 都小于 ε/2, 而不是 ε. 这是没有

问题的, 因为我可以应对你选取的任意一个正数. 不管怎样, 如果你再

做一遍上述方程的话, 在右边将得到 ε 而不是 2ε, 这样, 我们就证明

了可以找到一扇关于 a 的小窗使得

在此假设 x 在我的小窗里. (如果你想要将这扇小窗描述得更好, 也可

以使用 δ, 但事实上它不会给我们提供任何附加信息.) 因此, 这就证明

了