Page 143 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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当然, 像 y = x 这样的函数没有任何水平渐近线, 因为当 x 变得越来

越大时, y 值只会无限上升. 用符号表示, 我们可以写作 . 另

外, 极限也有可能不存在. 例如, . sin (x) 会变得越来越接近

何值 (并保持这种接近状态)呢？它只是在 -1 和 1 之间来回振荡, 因此

绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线, 也不会趋于 ∞ 或

-∞; 你所能作的最好回答是, 不存在 (DNE). 证明请参见附录

A 的 A.3.4 节.

让我们回到上一节看到的函数 f , 其定义为 f (x) = sin (1/x). 当

x 变得非常大时会怎么样呢？首先, 当 x 很大时, 1/x 会非常接近于 0.

由于 sin (0) = 0, 那么 sin (1/x) 就会非常接近于 0. x 越大, sin

(1/x) 就会越来越接近于 0. 我的论证有点粗略, 但希望能说服你相信 2

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如果你不信, 请参见附录 A 的 A.4.1 节!

因此, sin (1/x) 在 y = 0 处有一条水平渐近线. 这就能够扩展我们之

前画的 y = sin (1/x) 的图像, 至少是向右边做扩展. 我们仍旧担心当

x < 0 时会发生什么. 事情不是太糟糕, 因为 f 是一个奇函数. 理由是

注意到我们使用了 sin (x) 是 x 的奇函数的事实来由 sin (-1/x) 得到 -

sin (1/x). 这样一来, 由于奇函数有一个很好的性质, 就是其图像关于