Page 146 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

形下, 你可能需要走到 200. 那么你能够只选取一个像 1 000 000

000 000 这样的数, 然后说它已经很大了吗？不可以, 因为一个函数有

可能一直起伏不定, 直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水

平渐近线. 这里的要点是, “大的” 一词必须考虑到相关的某个函数或极

限才有意义. 幸好, 没有最大, 只有更大, 往上还大有余地 —— 甚至一

个像 1 000 000 000 000 这样的数, 相对于 10 100 (古戈尔) 来说还

是相当小, 而 10 100 与 10 1 000 000 比起来又是那么微不足道 …… 顺

便说一下, 我们会经常使用术语 “在 ∞ 附近” 来代替 “大的正的数”.

(在字面意义上说, 一个数不可能真的在 ∞ 附近, 因为 ∞ 无穷远. 不过

在 x → ∞ 时的极限的语境中, “在 ∞ 附近” 的说法还是说得通的.)

当然, 所有这些也都适用于 x → -∞ 时的极限, 你只需在上述所有大的

正的数之前添加一个负号. 在这种情况下, 我们有时会说 “在 -∞ 附近”

来强调我们所指的是大的负的数.

另一方面, 我们会经常看到极限

或 .

在上述三种情况下, 我们知道, 当 x 足够接近于 0 时, f (x) 的值几乎是

L. (对于右极限, x 还必须为正; 而对于左极限, x 还必须为负. ) 那么 x

必须离 0 多近呢？这取决于函数 f . 因此, 当说一个数是 “小的”(或者