Page 196 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

5.1 连续性

我们先从一个函数是连续的, 这到底意味着什么开始. 正如我上面所说,

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直觉上, 可以一笔画出连续函数的图像. 这对于像 y = x 这样的函数

来说没有问题, 因为整个图像在一块; 但对于像 y = 1/x 这样的函数,

这就有一点儿不公平了. 要不是在 x = 0 处有一条垂直渐近线, 把图像

分成了两部分, 它的图像本来可以是在一块的. 事实上, 如果 f (x) =

1/x, 那么可以说, 除了在 x = 0 外, f 处处连续. 因此, 必须理解在一点

处连续是什么意思. 然后, 考虑在更大的区域上, 比如区间上的连续性.

5.1.1 在一点处连续

我们以一个函数 f 和在 x 轴上其定义域中的点 a 开始. 当我们画 y = f

(x) 的图像时, 想要在通过图像上的点 (a, f (a)) 时不提起笔. 如果在其

他地方必须提起笔的话, 那也不要紧, 只要在 (a, f (a)) 的附近不提起

笔就行了. 这意味着, 我们想要一连串点 (x, f (x)) 变得越来越接近 (事

实上是任意地接近) 于点 (a, f (a)). 换句话说, 当 x → a 时, 需要 f (x)

→ f (a). 没错, 女士们, 先生们, 我们这里面对的是极限问题. 现在可以

给出一个恰当的定义：