Page 197 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

当然, 为了让前面的等式有意义, 等号两边必须都是有定义的. 如果极

限不存在, 那么 f 在点 x = a 处不连续, 而如果 f (a) 不存在, 那么你

彻底完蛋了：那里甚至都没有一个点 (a, f (a)) 可以让你通过! 因此,

可以对定义进行更精确一些的描述, 并明确地要求以下三条成立：

(1) 双侧极限 存在 (并且是有限的);

(2) 函数在点 x = a 处有定义, 即 f (a) 存在 (并且是有限的);

(3) 以上两个量相等, 即

让我们来看看, 如果任意一条性质不满足, 那会怎么样. 考虑图 5-

1.

图 5-1

在标号为 1 的图中, 在 x = a 处的左极限和右极限不相等, 则双侧极限

不存在, 所以函数在点 x = a 处不连续. 在标号为 2 的图中, 左极限和

右极限都存在且是有限的, 并且左右极限相等, 故双侧极限存在; 然而,