Page 201 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

不管怎样, 让我们回到多项式. 因为 g (x) = x 是 x 的连续函数, 可以

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让 g 和它自己相乘, 看到 x 也是 x 的连续函数. 你想要多少个 x 和它

自己相乘都可以, 这样可以证明 x 的任意次幂 (作为 x 的函数) 的连续

性. 然后, 可以乘以常数系数, 并将不同次幂相加在一起, 得到任意一个

多项式 —— 并且每一个仍然是连续的!

结果证明, 所有的指数函数和对数函数都是连续的, 同样所有的三

角函数也是如此 (除了在它们的渐近线上). 我们暂且接受这一点, 后面

的 5.2.11 节将会解释其中的原因. 同时, 我想让你来看一个更奇异的

函数. 考虑函数 f , 其定义为 f (x) = x sin (1/x). 在 3.6 节有过它的

图像 (至少是当 x > 0 时的图像). 其实把图像扩展到 x < 0 是很容易

的, 因为 f 是一个偶函数. 为什么呢？记得 sin (x) 是 x 的奇函数, 于是

有

因此, f 的确是偶函数, 从而以 y 轴为镜子反射之前的图像, 就可以得到

f 的图像 (图 5-3 只显示了在定义域 -0.3 < x < 0.3 上的图像).