Page 200 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

证明. 首先, 让我们证明定义为 f (x) = 1 的常数函数 f , 对于所有的

x, 在任意一点 a 处都连续. 也就是说, 需要证明

由于对于任意的 x 都有 f (x) = 1, 并且 f (a) = 1, 这意味着需要证明

显然上式成立, 因为所有的一切都不依赖于 x 和 a. 现在, 设 g (x) =

x. g 是连续的吗？这时需要证明

由于 g (x) = x 且 g (a) = a, 这就将问题简化为证明

显然上式也成立：当 x → a 时, 当然会有 x → a! 现在只需观察可知,

一个连续函数的常数倍是连续的; 此外, 如果对两个连续函数做加法、

减法、乘法或复合, 会得到另一个连续函数 (更多详情请参见附录 A 的

A.4.1 节). 当用一个连续函数除以另一个连续函数的时候, 这几乎也一

样成立：除了分母为零的点外, 商函数处处连续. 例如, 除了在 x = 0

处, 1/x 在其他各处都是连续的, 因为我们已经看到分子分母同为 x 的

连续函数.