Page 198 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

函数在点 x = a 处无定义, 因此, 函数在点 x = a 处不连续. 在标号为

3 的图中, 双侧极限也存在, 函数在点 x = a 处有定义, 但极限值和函

数值不相等, 再一次地, 函数在点 x = a 处一次不连续. 另一方面, 在标

号为 4 的图中, 由于双侧极限在点 x = a 处存在, f (a) 存在, 并且极限

值和函数值相等, 因此, 函数的确在点 x = a 处连续. 顺便说一下, 前三

个图中的函数在点 x = a 处有一个不连续点.

5.1.2 在一个区间上连续

我们已经知道函数在一个单点上连续的定义了. 现在来把该定义扩展一

下, 如果函数在区间 (a, b) 上的每一点都连续, 那么它在该区间上连

续. 注意到 f 实际上没有必要在端点 x = a 或 x = b 上连续. 例如, 如

果 f (x) = 1/x, 那么 f 在区间 (0, ∞) 上连续, 即使 f (0) 无定义. 该函

数在区间 (-∞, 0) 上也连续, 但在区间 (-2, 3) 上不连续, 因为 0 位于

此区间内, 而 f 在那里不连续.

对于形如 [a, b] 的区间又如何呢？对此我们不得不稍微灵活些. 例如,

图 5-2 是函数在其定义域 [a, b] 上的图像; 我们想说它在 [a, b] 上连

续. 但问题是, 双侧极限在端点 x = a 和 x = b 处不存在： 在点 x =

a, 只有一个右极限; 而在点 x = b, 只有一个左极限. 不过没有关系, 只

需利用端点处适当的单侧极限来略微修改一下定义. 因此, 我们说函数

f 在 [a, b] 上连续, 如果