Page 362 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

毕竟, 如果 p 和 h 保持不变, 那么飞机和跳伞员就悬停在空中的同一个

地方, 当然角 θ 也不会改变. 这是很不现实的 —— 因此需要让 p 和 h

变化, 从而角 θ 也会变化, 而我们可以算出它变化得有多快. 这就完成

了第 1 步.

说到角 θ, 从图中很明显, 它就是跳伞员和地面的夹角 β 与飞机和地面

的夹角 α 之差. (我们假设你没有高度, 或者换个说法, 你是躺在地面上

的.) 因此, 我们知道 θ = β - α. 事实上, 应该写成 θ = |β - α|, 以防跳

伞员低于飞机. 不过在我们感兴趣的时刻附近, 高度是一样的, 而飞机

比跳伞员还要偏东, 因此 β 一定大于 α, 我们不需要绝对值.

现在, 要做一些三角函数运算. 我们有两个直角三角形. 从它们中的一

个 (有飞机的那个), 得到 tan (α) = 2000/p. 从另一个, 得到 tan (β)

= h/1000. 我们将这些方程写在一起：

和 .

第 2 步终于结束了, 现在可以进入第 3 步, 对这两个关系关于时间做隐

函数求导. 由第一个开始, 令 u = tan (α), v = 2000/p, 这样方程就

变为 u = v. 这意味着, du/dt = dv/dt. 我们使用链式求导法则来求这

些量. 首先是 du/dt：