Page 359 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这意味着 dh/dt = 8/9. 也就是说, 在我们关心的时刻 (当水的体积达

到 18π 立方英尺时), 水位以 8/9 英尺/秒的速率上升.

第二部分几乎是一样的. 事实上, 唯一的区别出现在第 4 步. 我们仍然

想用 v = 18π 作替换, 这将意味着再次有 h = 6. 另一方面, 代入

dv/dt = 8π 是错误的, 因为这根本没有考虑到那个洞. 我们知道每秒

有 8π 立方英尺的水注入罐中, 但对于罐中每一立方英尺的水来说, 每

秒有一立方英尺的水流出来. 由于在罐中有 v 立方英尺的水, (由定义

可知!) 从洞中流出的水的速率是 v 立方英尺每秒. 因此, 流入水的速率

是 8π, 而流出水的速率是 v (它们的单位都是立方英尺每秒), 这意味着

现在, 当 v = 18π 时, 我们有 dv/dt = 8π - 18π = -10π. 因此, 需要

将 dv/dt = -10π 和 h = 6 代入先前的方程

结果是 dh/dt = -10/9. 这意味着, 在我们所考虑的那一时刻, 罐中的

水位以 10/9 英尺每秒的速率下降. 尽管我们正在向水罐注水, 但洞会

让更多的水流出并导致水位下降.

8.2.4 一个非常难的例子