Page 358 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在图中有一些相似三角形：事实上, ΔABO 和 ΔCDO 相似, 故 H/R =

h/r. 由于 H = 2R, 因而 2R/R = h/r, 就是说 h = 2r. 因此, 水罐中的

水就像是整个水罐的微缩复制. 不管怎样, 我们仍需要求出用 h 和 r 表

示的水罐中水的体积. 高为 h 单位、半径为 r 单位的圆锥的体积由公

式 立方单位给出. 在这里, 消去 h 和 r 中的一个会很好, 又

由于我们对水位 h 比半径 r 更感兴趣 (通过读题会知道为什么!), 所以

消去 r 会更有意义. 代入 r = h/2, 有

即 .

现在, 对于第 3 步, 对上式关于 t 求导. 根据链式求导法则,

即 .

很好! 现在来看第 4 步, 将我们所知的一切代入以上两个方程中. 我们

知道 dv/dt = 8π, 并且对当 v = 18π 时会发生什么感兴趣. 分别作替

换, 得到

和 .

3
第一个方程告诉我们 h = 18 × 12 = 216, 故 h = 6. 也就是说, 当

水的体积达到 18π 立方英尺时, 水位是 6 英尺. 将其代入第二个方程,

得到