Page 476 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由于我们可以用指数函数来表示 cosh (x) 和 sinh (x), 因而应该也可

以用对数函数来表示反函数, 毕竟指数函数和对数函数互为反函数. 让

-1
我们来看一下这是如何做到的. 例如, 如果 y = cosh (x), 那么 x =

-y
y
cosh (y) = (e + e ) /2. 现在, 你可以用一个小技巧来求解 y. 令 u
-y
y
= e , 那么 e = 1/u. 方程变为

2
两边同乘以 2u 并整理得到一个 u 的二次方程：u - 2xu + 1 = 0.

根据二次公式,

然后对两边取对数,

那么到底取正号还是负号呢？略作思考后可以看到, 如果 x > 1, 那么

. 这意味着, 它的对数是负的 (回想一下, 一个介于 0 和

1 的数的对数是负的!). 这不是我们想要的. 因此, 它是正的平方根. 这

样我们证明了, 当 x ≥ 1 时,

类似地, 你可以证明, 对于所有的 x,

作为练习, 你应该尝试对这后两个方程的右边求导并检验你的答案

-1
-1
是否与我们之前求出的 cosh (x) 和 sinh (x) 的导数一致.