Page 514 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 11-19

假设 f'' (c) > 0. 从 11.4 节可知, 这样的函数 y = f (x) 的图像在 x

= c 附近是凹向上的. 上面只有第二个满足条件, 这时 x = c 是局部最

小值. 类似地, 如果 f'' (c) < 0, 那么图像就是凹向下的, 也就是上面第

一个的情形, 此时 x = c 为局部最大值.

这个方法相当管用, 但它也有一个缺陷：如果 f'' (c) = 0, 那么可能遇

4
3
到上述四种情况的任意一种! 例如, 假设 f (x) = x , g(x) = x . 我们
2
有 f' (x) = 3x , 所以 f' (0) = 0. 接下来让我们用它的二阶导数去对这

个临界点进行分类. 由于 f'' (x) = 6x, 则有 f'' (0) = 0.

3
另一方面, 函数 g 呢？在 11.4.1 节中已经求得 g' (x) = 4x , 所以 g'

(0) = 0. 这里的 x = 0 又是什么类型的临界点呢？让我们用二阶导数

2
来检验一下：g'' (x) = 12x , 所以 g'' (0) = 0.

在这两种情况下, 在临界点 x = 0 的二阶导数都为零. 而从图 11-

20 可以看出, 函数 f 在 x = 0 有一个拐点, 函数 g 在 x = 0 则有一个