Page 512 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

为拐点. 你可以画函数图像检验一下! (在 11.5.2 节你会看到该函数图

像).

下面是另一个例子. 如果设 f (x) = x ln(x), 那么函数 f 的局部最

大值、局部最小值和水平拐点又在哪里呢？首先, 可以使用乘积法则求

得 f' (x) = ln(x) + 1. (自己检验一下!) 接下去需要求解方程 f' (x)=

0, 即 f' (x)= ln(x) + 1 = 0.

-1
通过重新整理, 我们得到 ln(x) = -1, 两边同时取幂, 得到 x = e =
1/e. 这是唯一的候选者, 但它是哪种类型的临界点呢？

好吧, 让我们看一下 f' (x) = ln(x) + 1 在 x 接近 1/e 时的符号. 最简

单的方式是画出导函数 y = f' (x) 的图像草图. 我们所需做的只是把

ln(x) 的图像向上平移一个单位, 如图 11-17 所示. 从图像中可以看出,

随着从左往右通过 x = 1/e 导函数由负变正, 所以 x = 1/e 必定为局

部最小值. 那么在该点的函数值又是多少呢？把 x = 1/e 代入原函数,

-1
得到 f (1/e) = (1/e) ln(1/e) = -1/e, 因为其中 ln(1/e) = ln(e ) = -

ln(e) = -1. 因此, 该函数在点 (1/e, -1/e) 有局部最小值. 它在那个局

部的图像应该如图 11-18 所示. 但正如你所看到的, 我们还不知道其他

部分的图像如何. 我们将在 12.3.2 节将它补完.