Page 509 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

11.5 对导数为零点的分类

现在是时候把前面的部分理论应用到实际问题中去了. 假设有一个函数

f 以及数 c 使得 f' (c) = 0. 除了可以确定地说 c 点是函数 f 的临界点,

你还可以说出什么？事实证明，这里仅有三种常见可能性：x = c 可

能为局部最大值; 也可能为局部最小值; 还可能为水平拐点, 也就是说,

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这点不仅是拐点, 通过该点的切线也是水平的. (也有可能对于所有接

近于 c 的 x, f (x) 是常数函数, 但这样的话, c 就既是局部最大值又是

局部最小值.) 不论如何, 图 11-15 是这几种常见可能性的示意图.

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另一种可能性是在临界点附近的凹性甚至不是良定义的. 例如 f (x) = x sin(1/x) 这个函

数, 当 x 趋于临界点 0 时, 二阶导数的符号反复振荡, 所以凹性也在不停变化!

图 11-15