Page 511 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

函数为减函数. 很显然, 如果随着你从左往右, 斜率由正变负, 那么斜率

为零的那一点必定是局部最大值.

对于第二个, 情况恰恰相反. 如果从左往右, 斜率由负变正, 那么斜率为

零的那一点必定是局部最小值. 在第三个中, 除 c 点外, 斜率始终为正;

在第四个中, 除 c 点外, 斜率始终为负. 后两者中的 c 点均为拐点：点

两侧的导数的斜率并没有改变符号.

下面是对上述观察的总结. 假设 f' (c) = 0, 这时有：

如果从左往右通过 c 点, f' (x) 的符号由正变负, 那么 c 点为局部

最大值;

如果从左往右通过 c 点, f' (x) 的符号由负变正, 那么 c 点为局部

最小值;

如果从左往右通过 c 点, f' (x) 的符号不发生变化, 那么 c 点为水

平拐点.

2
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例如, 如果函数 f (x) = x , 那么我们有 f' (x) = 3x . 由于当 x
= 0 时导数为零, 所以 x = 0 一定是局部最大值、局部最小值或水平

拐点中的一种. 但到底是哪一种呢？由于当 x ≠ 0 时, 导函数始终为

正, 则从左往右通过 x = 0 时, 导数的符号不发生变化, 所以该点一定