Page 57 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

对于第一个问题 —— 如何知道对于 f 值域中的任意 y, 只有一个 x 值

满足 f (x) = y —— 最好的方法也许是看一下函数图像. 我们想要在 f

值域中选择 y, 并且希望只有一个 x 值满足 f (x) = y. 这就意味着通过

点 (0, y) 的水平线应该和图像仅有一次相交, 且交点为点 (x, y). 那个

x 就是我们想要的. 如果水平线和曲线相交多于一次, 那将会有多个可

能的对应 x 值, 情况会很糟. 如果是那样, 获得反函数唯一的方法就是

对定义域加以限制, 我们很快会讨论这一点. 如果水平线根本就没有和

曲线相交, 会怎样呢？就是 y 根本没有在值域当中, 这样也不错.

这样一来, 就可以描述水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图

像相交至多一次, 那么这个函数就有一个反函数. 如果即使只有一条水

平线和图像相交多于一次, 那么这个函数就没有反函数. 例如, 我们来

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看一下图 1-4 中 f (x) = x 和 g (x) = x 的图像.