Page 582 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在我们转入下一个话题之前, 再快速看一下另一种证明 y =1 是最小值

的方法. 这里的技巧是, 将表达式

巧妙加以重写. 对右边第一项, 分子分母同时除以 (2 - y), 而对第二项,

同时除以 y. 再做一个合理的假设, y 和 2 - y 都为正, 则有

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随着 y 越来越大, 会发生什么？好吧, (2 - y) 会越来越小, (2 - y) 也
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是如此, 所以 1/(2 - y) 会越来越大. 这意味着第一项的分母会越来越

大, 所以它的倒数会越来越小, 但倒数的相反数还是会越来越大. 这样

细细想来, 可以得出结论：随着 y 越来越大, 第一项也会越来越大. 以

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同样的方法, 随着 y 越来越大, 49/y 会越来越小, 所以第二项的分母

会越来越小, 但整个分式还是会越来越大.

这样我们较为轻松地证明了, dT/dy 是增函数, 至少在 (0, 2) 区间上是

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增函数. 由于 dT/dy 是增函数, 所以它的导数 d T/dy 为正! 这样, 无
须实际计算出二阶导数就证明了它为正, 进而再一次地得到结论, y =

1 为最小值.