Page 586 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这可比之前的 3 多一点要好得多! 事实上, 可以使用计算器算得 约

为 3.317 (精确到第三位小数), 所以我们的近似值 还是相当不错的.

13.2.1 线性化问题：一般方法

让我们将上述例子中所用方法一般化. 如果你想要估算某个量, 首先试

着把它写成某个适当的函数 f (x) 的值. 在上述例子中, 我们想要估算

, 所以设函数 , 并意识到我们感兴趣的是 f (11) 的值.

接下来, 我们选某个与 x 很接近的数 a, 并使得 f (a) 容易计算. 在这个

例子中, 我们无法处理 f (11), 但容易计算 f (9), 因为 9 开根号很容

易. 我们也可以选择 a =25, 毕竟 25 开根号也很容易, 但这就不如选

9 好, 因为 25 离 11 相当远了.

再次, 已知函数 f 和特殊值 a, 我们找出通过曲线 y = f (x) 上点 (a, f

(a)) 的切线. 这条切线的斜率为 f' (a), 所以其方程为

如果设切线为 y = L(x), 则在上述方程两边同时加上 f (a), 得到

这个线性函数 L 被称为 f 在 x = a 处的线性化. 回想一下, 我们将把

L(x) 作为 f (x) 的近似. 所以有