Page 587 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

并知道当 x 很接近于 a 时, 这个近似是非常好的! 事实上, 当 x 实际上

等于 a 时, 这个近似是完美的! 此时上述方程的两边都为 f (a). 不过,

这并没什么用, 毕竟对 f (a) 我们已经知根知底了. 这样, 现在有了对 f

(x) 在 x 接近于 a 时的近似.

让我们用上一节的例子来检验一下公式是否有效. 我们有 和

a = 9. 显然 f (a) = f (9) = 3; 又由于 , 我们有

. 根据上述公式, f 的线性化为

这与之前得到的 一致, 我们当时正是用它求得

. 现在, 你知道怎样估算 吗？注意到 8 也接近于 9, 所以可

以使用同一个线性化：

因此, 公式 给出了所有 x 接近于 9 的单是 的很

好近似, 而不单单是 11.

另一方面, 假设你还想要估算 . 这时使用 L(62) 作为近似就不

是很理想了. 让我们看看要是这样做的话会发生什么：