Page 585 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这条切线, 我标记为 y = L(x), 在 x = 9 附近非常接近于曲线 y = f

(x). 当 x = 0 附近, 它就没有那么接近了. 但这无关紧要, 因为我们想

要估算的是 f (11), 而 11 是非常接近 9 的. 在上图中, 切线和曲线在

x = 11 处非常接近. 这意味着 L(11) 是对 的很好近似. 的

确, 看看上图中这两个值在 y 轴上有多么接近吧!

不过, 如果不能实际计算出 L(11), 那么刚才的一切就都是空话. 那么让

我们来算吧. 线性函数 L(x) 通过点 (9, 3), 并且由于它与曲线 y = f

(x) 在 x = 9 相切, 所以 L(x) 的斜率为 f' (9). 又由于 ,

所以 . 因此, L(x) 斜率为 1/6, 并通过点 (9, 3). 于是其

方程为

化简可得 y = x/6 + 3/2. 也就是说,

现在, 只需将 x =11 代入上式, 算得 L(11) 的值：

因此, 我们得到结论：