Page 605 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

上式可化简为

它实际上比 π/4 稍小. 此外, 可算得 f (x ) 约为 0.0008. 这意味着 x 2
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- cos(x ) 约为 0.0008, 所以数 x 是对方程 x = cos(x) 的解的一个
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相当好的近似. 当然, 可以重复使用这个方法, 以得到一个还要好的近

似值 x , 但这时的计算就变得很糟糕了. 不过, 计算机和计算器倒是善
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于此道, 并且实际上它们常常使用牛顿法以给出很好的近似. (别忘了,

计算器给出的也仅仅是近似值! 即便小数点后有 10 位或 12 位, 它仍

然不是确切的值, 尽管在大多数情况下这已经够用了. )

正如我们之前注意到的 (但没有给出解释), 有时牛顿法也会不起

作用. 下面是失效的四种不同情况.

(1) f' (a) 的值接近于 0. 显然, 如果

则 f' (a) 不能为 0, 否则 b 是没有定义的. 在这种情况下, 在 x = a 处

的切线不可能与 x 轴相交, 因为它是水平的! 即使 f' (a) 很接近但不等

于 0, 牛顿法仍会给出一个很糟糕的结果. 例如, 图 13-14 所示的情形.