Page 604 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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(这里用到了 f' (1/2) = 5 × (1/2) + 2 = 37/16. ) 不管怎样, 这意
味着 18/37 是个还要好的近似. 计算 f (18/37), 会算得结果约为

0.0002, 这已经是非常非常小的数了. 数 18/37 确实是对 f 的真正零

点的一个相当好的近似.

像这样重复使用 a 和 b 可能会引起混乱. 一种规避的方法是, 用 x 标
0

记初始的猜测, 用 x 标记第一次改善, 用 x 标记基于 x 的第二次改
2
1
1
善, 如此等等. 这样公式变为

, 等等.

下面是另一个例子：求方程 x = cos x 的近似解. 首先设 f (x) = x -

cos x. 如果能估算出 f 的零点, 那么这个数也就是 x = cos x 的近似

解. (5.1.4 节中已经使用过这个技巧了.) 让我们作个猜测 x = π/2,
0

则 f (π/2) = π/2 - cos(π/2) = π/2. 这是个相当不靠谱的猜测. 不过没

关系, 由于 f' (x) = 1 + sin(x), 有 f' (π/2) = 1 + sin(π/2) = 2. 这

意味着

所以 x = π/4 是个更好的近似; 的确, , 大约为
1

0.08. 现在重复使用这个过程. 由于 ,