Page 603 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这并不是在所有情况下都成立, 所以我特意加上 “在很多情况下”

以防万一. 我们会在下一页再具体讨论这些特殊情况. 现在让我们先看

一些例子. 假设

我们想求方程 f (x) = 0 的解. 但首先该方程有解吗？由于 f 是连续的,

f (0) = -1(为负), f (1) = 2(为正), 根据介值定理 (参见 5.1.4 节), 该

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方程至少有一个解. 另一方面, f' (x) = 5x + 2, 它始终为正, 所以 f

始终为增函数. 这意味着该方程至多有一个解 (参见 10.1.1 节). 这样

就证明了该方程有唯一的解. 现在让我们从 0 开始逼近方程的解. 我们

知道 f (0) = -1, 这并不是很接近于 0. 但没关系, 就使用牛顿法从 a

=0 开始：

所以 b =1/2 是个比 0 更好的近似. 确实, 可以算得 f (1/2) = 1/32,

它相当接近于 0. 那么为什么不重复使用这个方法, 从而得到一个还要

好的近似呢？当然可以! 这次取 a =1/2, 并再次算得：