Page 682 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

16.2 定积分的定义

关于用面积给出的定积分的定义, 我们已经给出了很多的例子, 但这并

不能帮助我们解决如何计算一些特殊的积分. 确实, 上一节的每一个例

子, 我们都找到了答案, 这仅仅是因为我们知道怎样计算三角形或长方

形的面积. 更幸运的是最后一个例子 sin(x), 因为两个面积被抵消了.

但在通常情况下, 我们没有这么幸运.

事实上, 在以前的导数学习中, 我们遇到过这种情况. 我们已经定义了

导数 f' (x) 的几何意义是函数 y = f (x) 在点 (x, f(x)) 的切线的斜率,

但并不知道如何求得斜率. 取而代之, 我们定义导数为

假设该极限是存在的. 像我们从前观察过的一样, 该极限是 0/0 型不定

式, 但在很多情形下我们可以计算出该极限. 无论如何, 一旦给出上述

定义, 那么 f'(x) 就可以表示切线的斜率.

遗憾的是, 定积分的定义没这么简单, 它比导数的定义要复杂得多. 好

在我们已经在前一章做了很多工作, 可以把它定义如下.